Immaginiamo di avere un po’ di monete dello stesso valore, diciamo da 50 centesimi, sparpagliamole sul tavolo e cominciamo a giocare con i numeri: raggruppiamole a formare delle figure geometriche (quadrati, triangoli, rettangoli, etc.) e poi contiamo quante monete sono state usate.
Affiancando 3 monete possiamo costruire un triangolo, con 4 otteniamo un quadrato, con 6 possiamo costruire un rettangolo 3×2 mentre 7 monete possono solo essere allineate in un’unica riga. I matematici graci avrebbero chiamato il 3 numero triangolare ed il 4 numero quadrato e, più in generale, definivano numeri figurati quei naturali che, pensati come sassolini, potevano essere disposti a formare delle figure geometriche.
Abbiamo appena visto che con 3 monete si può rappresentare un triangolo: aggiungendo altre 3 monete possiamo ingrandire la figura ottenendo un triangolo con due monete per lato. Ancora 4 monete ed il nuovo triangolo avrà un lato formato da tre monete allineate. Possiamo continuare ad ingrandire indefinitamente la figura, a patto di aggiungere il giusto numero di monete. Immaginiamo allora di iniziare da una moneta soltanto: chiaramente non possiamo parlare di triangolo in questo caso, a meno di non tirare in ballo il triangolo degenere, ovvero quel triangolo in cui i lati sono talmente corti (nulli, per la precisione) da portare i vertici a sovrapporsi. In ogni caso il primo numero che consideriamo è 1. Aggiungiamo 2 monete ed otteniamo il primo triangolo vero e proprio: 1+2=3, ecco il secondo numero triangolare. Come già accennato, con altre 3 monete, 3+3=6 è il successivo numero triangolare. In definitiva:
- 1
- 1 + 2 = 3
- 1 + 2 + 3 = 6
- 1 + 2 + 3 + 4 = 10
e così di seguito possiamo costruire i numeri triangolari, cioè sommando tra loro numeri naturali a partire dall’unità.
Una volta capito il trucco è facile scrivere per esteso la successione dei numeri triangolari:
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 …
anche se rimane il dubbio che la somma di naturali successivi non sia l’unico modo per calcolare il valore di un numero triangolare. In altre parole: esiste un modo più semplice per calcolare l’n-esimo numero triangolare (che indicheremo d’ora in avanti con T(n))? Messa giù in altri termini, proviamo a cercare una formula per calcolare velocemente la summa di tutti i numeri (naturali) da 1 fino a n?
Carl Friedrich Gauss
Vero la fine del sedicesimo secolo questo problema venne risolto brillantemente da un giovanissimo (8 anni) studente tedesco: Carl Friedrich Gauss. All’epoca il maestro elementare di Carl Friedrich era solito assegnare questo problema ai sui alunni:
“Calcolate la somma di tutti i numeri da 1 fino a 100.”
Già si pregustava un po’ di riposo nell’attesa che gli studenti concludessero il lavoro, quando gli giunse la risposta: 5050. Lo stupore crebbe ancor di più quando si accorse che sulla lavagnetta di Carl Firedrich non c’era traccia di alcuna addizione, ma solo l’espressione (100 x 101) : 2 = 5050.
L’idea alla base del ragionamento è semplice ed efficace: scriviamo di seguito i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante ripetiamo questo elenco ma in ordine contrario, da 100 fino a 1.
1 2 3 … 98 99 100
100 99 98 … 3 2 1
—————————————
101 101 101 … 101 101 101
Come si può vedere, sommando in colonna otteniamo semplre il valore 101, ripetuto esattamente 100 volte: il prodotto 100 x 101 corrisponde alla somma di tutti i numeri da 1 a 100, ripetuta due volte, quindi dividendo per due otteniamo la rispota cercata.
In termini più generali abbiamo quindi una formula per calcolare i numeri triangolari:
T2(n)=n(n+1)/2
I numeri triangolari non sono gli unici numeri figurati studiati dai matematici, ma la loro intuitiva semplicità unita ad un innato fascino, ne fanno un elemento ricorrente della vita quotidiana apprezzato, come si può vedere nella foto sottostante, anche da estrosi muratori.
cinquemm 